La Base Matematica
Iniziamo con l'equazione generale della conduzione del calore, una dichiarazione della conservazione continua dell'energia all'interno di un mezzo fisico:
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$
Qui, $u(x, y, z, t)$ rappresenta la distribuzione della temperatura, mentre $k$, $c$ e $\rho$ rappresentano le proprietà fisiche del mezzo. Anche se questa equazione è bella, i suoi coefficienti variabili rendono spesso impossibile la sua soluzione analitica.
La Semplificazione dell'Isotropia
Per superare il confine verso la computazione, applichiamo una restrizione semplificatrice principale: l'assunzione di un corpo isotropo.
Un corpo è isotropo se la conducibilità termica in ogni punto del corpo è indipendente dalla direzione del flusso di calore attraverso quel punto.
Sotto quest'assunzione, $k$ diventa una costante rispetto alle derivate spaziali, permettendoci di semplificare la legge fondamentale nella forma ben nota forma di Laplace:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$
Il Ponte verso la Realtà
Considera un lungo e sottile bastone di rame di lunghezza $l$. Mentre il calcolo ci permette di scrivere l'elegante equazione differenziale parziale del secondo ordine per la sua distribuzione della temperatura, qualsiasi variazione nell'ambiente del bastone o nella fonte interna di calore rende quasi impossibile una soluzione "a penna e carta". Il passaggio alla computazione è reso necessario dalla necessità di risolvere queste equazioni su geometrie reali che non possiedono soluzioni analitiche chiuse.